在探讨行政再审案件的提起问题时，我们首先需要了解我国的法院体系以及各级法院的职责。我国法院体系分为基层法院、中级法院、高级法院和最高人民法院。对于行政再审案件，提起的法院级别和流程如下：
基层人民法院
基层人民法院是我国的基层审判机关，负责审理一审案件，包括行政案件。然而，行政再审案件并不由基层人民法院受理。基层人民法院主要负责对行政案件的初审，对于不服一审判决的案件，当事人可以选择向上级法院提起上诉。
中级人民法院
中级人民法院主要负责审理不服基层人民法院一审判决的上诉案件，以及某些特定类型的行政案件。对于行政再审案件，当事人应当向作出原生效裁判的中级人民法院提起。中级法院对于再审申请的审查，主要是基于原审裁判的程序违法、适用法律错误或事实认定错误等因素。
高级人民法院
高级人民法院负责审理不服中级法院一审判决的上诉案件，以及不服中级法院再审判决的申诉案件。在行政再审案件中，如果中级法院的再审判决仍不符合当事人的要求，当事人可以向高级人民法院提起申诉。
最高人民法院
最高人民法院是我国最高审判机关，负责审理不服高级人民法院一审判决的上诉案件，以及不服高级人民法院再审判决的申诉案件。最高人民法院对于行政再审案件的审理，具有终局性。
行政再审案件提起流程
提交再审申请书：当事人向有管辖权的人民法院提交再审申请书，应当载明再审请求、事实和理由。
审查：人民法院收到再审申请书后，对是否符合再审条件进行审查。如果不符合条件，人民法院将裁定不予受理。
立案：如果符合再审条件，人民法院应当立案，并通知当事人。
审理：人民法院组成合议庭对再审案件进行审理。
判决：合议庭根据审理情况，作出判决或裁定。
各级法院职责解析
基层人民法院：主要负责行政案件的初审，对当事人的权利保障和行政法律关系的确认起到基础性作用。
中级人民法院：在行政审判中起到承上启下的作用，对于不服基层法院判决的案件进行二审，并对部分特定行政案件具有初审权。
高级人民法院：负责对中级法院和基层法院的审判工作进行监督，并对不服中级法院再审判决的申诉案件进行审理。
最高人民法院：作为最高审判机关，对各级法院的审判工作进行监督，并对不服高级法院再审判决的申诉案件进行最终审理。
总结来说，行政再审案件的提起应当遵循法定程序，向有管辖权的人民法院提起。各级法院在行政审判中扮演着不同的角色，共同维护着司法公正和当事人的合法权益。